✨Determinando a Distância entre um Ponto e uma Reta: Conceitos, Propriedades e Exemplos✨

A ➡️ distância entre um 🔹 ponto e uma ⬆️ reta é um conceito 📊 fundamental em 🗺️ geometria, com 🚀 aplicações em diversas 🛠️ áreas, como 🎨 engenharia, 🔧 computação gráfica e ⚡️ física. Este 📚 artigo explora o 🔍 conceito, apresenta suas ✨ propriedades, 🎓 exemplos didáticos e 💰 exercícios com ✍️ soluções em formato

Conceito

A distância entre um ponto e uma reta é definida como o comprimento do segmento de reta perpendicular à reta em questão que passa pelo ponto. Geometricamente, essa é a menor distância entre o ponto e qualquer outro ponto pertencente à reta.

Fórmula Geral

Seja uma reta definida pela equação geral:

$Ax + By + C = 0,$

e um ponto $P(x_1, y_1).$ A distância $d$ entre o ponto e a reta é dada por:

$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$

Propriedades

Perpendicularidade: O segmento que representa a menor distância entre o ponto e a reta é sempre perpendicular à reta.
Invariância da Distância: A distância é um valor absoluto, ou seja, sempre positiva, mesmo que o ponto esteja “acima” ou “abaixo” da reta.
Generalidade: A fórmula funciona para retas inclinadas, horizontais e verticais.

Exemplos:

Exemplo 1: Distância de um ponto a uma reta inclinada

Seja a reta $2x - 3y + 6 = 0$ e o ponto $P(3, 4).$

Solução: Aplicando a fórmula:

$d = \frac{|2(3) - 3(4) + 6|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|6 - 12 + 6|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|0|}{\sqrt{13}} = 0.$

Neste caso, $P(3, 4)$ está sobre a reta.

Exemplo 2: Distância de um ponto a uma reta horizontal

Seja a reta $y - 5 = 0$ e o ponto $Q(2, 8).$

Solução: Aqui, temos $A = 0$ , $B = 1$ e $C = -5.$

$d = \frac{|0(2) + 1(8) - 5|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|8 - 5|}{1} = 3.$

A distância é 3 unidades.

Exemplo 3: Distância de um ponto a uma reta vertical

Seja a reta $x + 4 = 0$ e o ponto $R(1, -2).$

Solução: Aqui, $A = 1$ , $B = 0$ e $C = 4.$

$d = \frac{|1(1) + 0(-2) + 4|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|1 + 4|}{1} = 5.$

A distância é 5 unidades.

Exercícios

Calcule a distância entre o ponto $P(2, -1)$ e a reta $3x + 4y - 5 = 0.$ Resposta: $d = \frac{|3(2) + 4(-1) - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 - 4 - 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-3|}{5} = 0,6.$
Determine a distância do ponto $Q(0, 0)$ à reta $x - y + 2 = 0.$ Resposta: $d = \frac{|0 - 0 + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.$
Encontre a distância entre o ponto $R(-3, 5)$ e a reta $x + 2y - 7 = 0.$ Resposta: $d = \frac{|-3 + 2(5) - 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|-3 + 10 - 7|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|0|}{\sqrt{5}} = 0.$