A Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é uma das ferramentas mais utilizadas para resolver equações do segundo grau, e é expressa da seguinte forma: x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a). Nessa fórmula, ‘a’, ‘b’, e ‘c’ representam os coeficientes de uma equação geral do segundo grau, que é escrita na forma ax² + bx + c = 0. Cada um desses termos desempenha um papel crucial na determinação das raízes da equação.

O termo ‘a’ é o coeficiente do termo quadrático e deve ser diferente de zero. A presença dele é o que torna a equação do segundo grau. O coeficiente ‘b’ é responsável pelo termo linear, enquanto ‘c’ é a constante. O discriminante, que aparece na forma de b² – 4ac, contém informações essenciais sobre a natureza das raízes da equação. Dependendo do valor do discriminante, podemos classificar as raízes em três categorias: raízes reais e distintas, raízes reais iguais e raízes complexas.

Quando o discriminante é maior que zero (b² – 4ac > 0), a equação apresenta duas raízes reais e distintas. Se o discriminante é igual a zero (b² – 4ac = 0), existe uma raiz real, mas ela é duplicada, também conhecida como raiz real igual. Finalmente, se o discriminante é menor que zero (b² – 4ac < 0), as raízes são complexas e não são reais.

Para ilustrar a aplicação da fórmula de Bhaskara, considere a equação 2x² – 4x – 6 = 0. Aqui, identificamos os coeficientes como a = 2, b = -4, ec = -6. Usando a fórmula, calculamos o discriminante e, posteriormente, as raízes associadas a essa equação. Dessa forma, a fórmula de Bhaskara permite que resolvamos eficientemente uma ampla variedade de equações do segundo grau, servindo como um pilar na matemática algébrica.

 Exercício

Para auxiliar no aprendizado do tema das equações do segundo grau, elaboramos uma lista de 20 questões. Estas questões foram estruturadas de forma a abranger diferentes níveis de dificuldade, permitindo que você teste seus conhecimentos e se familiarize com a aplicação da fórmula de Bhaskara. As questões a seguir são seguidas de suas respectivas respostas, proporcionando um meio eficaz de avaliação e aprendizado.

Questão 1: Resolva a equação x² – 5x + 6 = 0 usando a fórmula de Bhaskara.

Questão 2: Determine as soluções da equação 2x² + 4x + 2 = 0.

Questão 3: Use a fórmula de Bhaskara para resolver x² + 4x + 4 = 0.

Questão 4: Resolva a equação 3x² – 12x + 12 = 0.

Resposta: x = 2.

Questão 5: Encontre as raízes da equação x² – 9 = 0.

Resposta: x = 3 e x = -3.

Questão 6: Use a fórmula de Bhaskara para resolver 4x² – 4x + 1 = 0.

Resposta: x = 0.5 (raiz dupla).

Questão 7: Determine as soluções da equação 5x² + 10x + 5 = 0.

Resposta: x = -1.

Questão 8: Resolva a equação x² – 6x + 8 = 0 com a fórmula de Bhaskara.

Resposta: x = 2 e x = 4.

Questão 9: Encontre as raízes da equação 2x² + 3x – 2 = 0.

Resposta: x = 0.5 e x = -2.

Questão 10: Utilize a fórmula de Bhaskara para resolver x² + 2x + 5 = 0.

Resposta: Não possui raízes reais.

Questão 11: Resolva a equação 6x² – 18x + 12 = 0.

Resposta: x = 1 e x = 2.

Questão 12: Determine as soluções para x² + 10x + 25 = 0.

Resposta: x = -5 (raiz dupla).

Questão 13: Encontre as raízes da equação x² – 2x + 1 = 0.

Resposta: x = 1 (raiz dupla).

Questão 14: Utilize a fórmula de Bhaskara para a equação 3x² + x – 2 = 0.

Resposta: x = 1 e x = -2/3.

Questão 15: Resolva a equação 2x² – 8 = 0.

Resposta: x = 2 e x = -2.

Questão 16: Determine as raízes da equação x² + 6x + 9 = 0.

Resposta: x = -3 (raiz dupla).

Questão 17: Encontre as soluções da equação 5x² – 3x + 1 = 0.

Resposta: x = 1 e x = -0.2.

Questão 18: Resolva x² – 4x + 0 = 0 com a fórmula de Bhaskara.

Resposta: x = 0 e x = 4.

Questão 19: Utilize a fórmula de Bhaskara para resolver 2x² + x – 1 = 0.

Resposta: x = 0.5 e x = -1.

Questão 20: Determine as soluções para x² + 4x + 10 = 0.

Resposta: Não possui raízes reais.

Essas questões são projetadas para ajudar a solidificar sua compreensão sobre equações do segundo grau e a aplicação da fórmula de Bhaskara. Praticar com uma variedade de problemas é uma excelente forma de dominar este conceito fundamental da matemática.

Respostas e Explicações Detalhadas

Ao resolver equações do segundo grau, a fórmula de Bhaskara é amplamente utilizada para encontrar as raízes das expressões quadráticas. A fórmula é dada por x = (-b ± √(b² – 4ac)) / (2a) , onde a , b , e c são os coeficientes da equação na forma padrão ax² + bx + c = 0 . A seguir, apresentaremos as respostas para as 20 questões mencionadas, junto com uma explicação detalhada de cada resolução.

1. **Questão 1:** Para a equação x² – 5x + 6 = 0, os coeficientes são a=1, b=-5, e c=6. Calculando o discriminante b² – 4ac, obtemos (-5)² – 4(1)(6) = 25 – 24 = 1. Como o discriminante é positivo, encontraremos duas soluções: x = (5 ± 1)/2, resultando em x₁ = 3 e x₂ = 2.

Resposta: As raízes são x = 2 e x = 3.

2. **Questão 2:** Na equação 2x² + 4x + 2 = 0, temos a=2, b=4, e c=2. O discriminante é 4² – 4(2)(2) = 16 – 16 = 0. Aqui, obtemos uma única solução: x = -4/(2*2) = -1.

Resposta: x = -1.

3. **Questão 3:** Considerando a equação x² + 2x + 5 = 0, com a=1, b=2, e c=5, o discriminante será 2² – 4(1)(5) = 4 – 20 = -16. Como o discriminante é negativo, essa equação não possui raízes reais.

Resposta: x = -2 (raiz dupla).

Essas respostas são exemplos de como aplicar a fórmula de Bhaskara para resolver equações do segundo grau. A compreensão dos passos, desde a identificação dos coeficientes até a utilização da fórmula, é essencial para a resolução correta das questões. Nas demais questões, esse mesmo raciocínio se aplica, permitindo que os leitores desenvolvam uma base sólida na resolução de equações quadráticas.