Os números irracionais são uma parte fascinante do conjunto dos números reais. Vamos explorar o que significa um número ser irracional, além de resolver exercícios passo a passo para ajudar na compreensão deste conceito.

Conceito: O Que São Números Irracionais?

Um número é classificado como irracional quando sua representação decimal é infinita e não periódica, ou seja, não se repete em um padrão definido

Por exemplo:

• 2​ é um número irracional porque sua expansão decimal nunca termina nem repete-se.
• $\pi$ (Pi), que representa a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, também é um número irracional.

Exercício 1: Identificando Números Irracionais

Pergunta: Quais dos seguintes números são irracionais?

  722​,3​,0.333…,π

Resolução:

1. 722​ : Este é um número racional porque pode ser escrito como uma fração de dois inteiros.
2. 3​ : Este é um número irracional porque a raiz quadrada de três não pode ser expressa exatamente como uma fração e tem uma expansão decimal infinita e não repetitiva.
3. $0.333\dots$ : Este número é racional porque pode ser escrito como a fração 31​.
4. $\pi$ : Este é claramente um número irracional.

Resposta Final:

     3​,π

Conceito: Operações com Números Irracionais

Quando realizamos operações matemáticas com números irracionais, o resultado pode ser tanto racional quanto irracional dependendo da operação realizada. Por exemplo, a soma de dois números irracionais pode resultar em um número racional ou continuar sendo irracional.

Exercício 2: Soma de Dois Números Irracionais

Pergunta: Considere os números a=2​ e b=−2​.

Qual é o resultado da soma $a+b$? O resultado é um número racional ou irracional?

Resolução:

1. Substituímos os valores de $a$ e $b$ na equação:a+b=2​+(−2​)=0
2. O resultado da soma é $0$, que é um número inteiro e portanto racional.

Resposta Final:

$$0\text{(Racional)}$$

Conceito: Multiplicação de Números Irracionais

Multiplicar dois números irracionais pode levar a resultados racionais ou irracionais. Por exemplo, multiplicar 2​ por si mesmo resulta em $2$, que é um número racional.

Exercício 3: Produto de Dois Números Irracionais

Pergunta: Sejam c=5​ e d=5​. Calcule o produto $c\cdot d$. O resultado é um número racional ou irracional?

Resolução:

1. Calculamos o produto:c⋅d=5​⋅5​=5
2. O resultado é $5$, que é um número inteiro e consequentemente racional.

Resposta Final:

$$5\text{(Racional)}$$

Com essas explicações e exercícios resolvidos, esperamos ter esclarecido melhor o conceito de números irracionais e suas propriedades fundamentais. Lembre-se sempre que um número irracional não pode ser escrito como uma fração de dois inteiros, e possui uma expansão decimal infinita e não periódica.