# Função Quadrática

A função quadrática é uma das funções mais importantes da matemática, especialmente no estudo da álgebra e do cálculo. Sua forma geral é dada por:

f(x) = ax^2 + bx + c

onde:
– a, b, c são números reais.
– a \neq 0.

## Gráfico da Função Quadrática
O gráfico de uma função quadrática é uma **parábola**. O sentido da abertura da parábola depende do sinal de a:
– Se a > 0, a parábola se abre para cima.
– Se a < 0, a parábola se abre para baixo.

## Vértice da Parábola
O vértice da parábola é o ponto máximo ou mínimo da função, e suas coordenadas são dadas por:

x_v = -\frac{b}{2a}, \quad y_v = f(x_v)

Portanto, as coordenadas do vértice são:

V\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)

## Raízes da Função Quadrática
As raízes da função quadrática, também chamadas de zeros, são encontradas resolvendo-se a equação:

ax^2 + bx + c = 0

Utilizamos a **fórmula de Bhaskara** para encontrar as soluções:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

onde \Delta = b^2 - 4ac é o **discriminante** da equação. A partir do valor de \Delta , temos:
– Se \Delta > 0 , existem duas raízes reais distintas.
– Se \Delta = 0 , existe uma raiz real dupla (ou duas raízes iguais).
– Se \Delta < 0 , não há raízes reais (as raízes são complexas).

## Exemplo
Vamos analisar a função f(x) = 2x^2 - 4x - 6 .

### Passo 1: Identificar os coeficientes
a = 2, \, b = -4, \, c = -6

### Passo 2: Calcular o vértice
x_v = -\frac{-4}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1

y_v = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) - 6 = 2 - 4 - 6 = -8

Portanto, o vértice é V(1, -8) .

### Passo 3: Calcular as raízes
\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 16 + 48 = 64

x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \times 2} = \frac{4 \pm 8}{4}

x_1 = \frac{4 + 8}{4} = 3, \quad x_2 = \frac{4 - 8}{4} = -1

As raízes são x = 3 e x = -1 .

## Exercícios

1. Determine o vértice e as raízes da função quadrática f(x) = x^2 - 6x + 5 .

2. Para a função g(x) = -3x^2 + 12x - 9 :
– (a) Determine o vértice.
– (b) Calcule as raízes.

3. A função h(x) = 4x^2 - 16x + 15 :
– (a) Encontre o vértice.
– (b) Verifique o número de raízes reais.

4. Considere a função p(x) = -2x^2 + 4x + 6 :
– (a) Determine o vértice.
– (b) Calcule o discriminante ( \Delta ) e identifique se há raízes reais.

## Respostas dos Exercícios

1. Para f(x) = x^2 - 6x + 5 :
– Vértice: x_v = 3 , y_v = -4 → V(3, -4) .
– Raízes: x = 1 e x = 5 .

2. Para g(x) = -3x^2 + 12x - 9 :
– Vértice: x_v = 2 , y_v = 3 → V(2, 3) .
– Raízes: x = 1 e x = 3 .

3. Para h(x) = 4x^2 - 16x + 15 :
– Vértice: x_v = 2 , y_v = -1 → V(2, -1) .
– Discriminante: \Delta = 16 → Duas raízes reais: x = 1.5 e x = 2.5 .

4. Para p(x) = -2x^2 + 4x + 6 :
– Vértice: x_v = 1 , y_v = 8 → V(1, 8) .
– Discriminante: \Delta = 64 → Duas raízes reais: x = -1 e x = 3 .