A função afim é um dos conceitos fundamentais da matemática, especialmente no estudo da álgebra. Ela é amplamente utilizada para descrever relações lineares entre variáveis. Vamos entender sua definição, propriedades, gráficos e exemplos práticos.

Definição

Uma função afim é uma função de primeiro grau que pode ser expressa na forma:

f(x) = ax + b

Onde:

  • a é o coeficiente angular (declive da reta).
  • b é o coeficiente linear (intercepto com o eixo y ).

Como Identificar uma Função Afim

  1. Coeficiente Angular ( a ):
    • Indica a inclinação da reta.
    • Se a > 0 , a reta é crescente.
    • Se a < 0 , a reta é decrescente.
  2. Coeficiente Linear ( b ):
    • Indica onde a reta intercepta o eixo y .
    • O ponto é dado por (0, b) .

Gráfico da Função Afim

O gráfico de uma função afim é uma reta. Vamos entender como podemos desenhar essa reta:

  1. Encontrar o ponto de interseção com o eixo y : (0, b) .
  2. Usar o coeficiente angular a para determinar a inclinação da reta.

Exemplo 1: Vamos considerar a função:

f(x) = 2x + 3

  • Coeficiente angular a = 2 (reta crescente).
  • Coeficiente linear b = 3 (intercepta o eixo y em (0, 3) ).

Para esboçar o gráfico:

  • Quando x = 0 , temos f(0) = 3 .
  • Quando x = 1 , temos f(1) = 2(1) + 3 = 5 .

Portanto, os pontos (0, 3) e (1, 5) ajudam a desenhar a reta.

Gráfico do Exemplo 1

begin{array}{c|c} x & f(x) = 2x + 3 hline 0 & 3 1 & 5 -1 & 1 end{array}

Outros Exemplos de Função Afim

Exemplo 2: Considere a função:

g(x) = -x + 4

  • Coeficiente angular a = -1 (reta decrescente).
  • Coeficiente linear b = 4 (intercepta o eixo y em (0, 4) ).

Para traçar o gráfico:

  • Quando x = 0 , temos g(0) = 4 .
  • Quando x = 2 , temos g(2) = -2 + 4 = 2 .

Portanto, a reta passa pelos pontos (0, 4) e (2, 2) .

Exercícios de Fixação

Resolva os seguintes exercícios para praticar o conceito de função afim.

Exercício 1

Dada a função afim f(x) = 3x - 7 :

  1. Determine o ponto de interseção com o eixo y .
  2. Calcule o valor de f(2) .
  3. Esboce o gráfico.

Respostas:

  • Interseção com o eixo y = (0, -7) .
  • f(2) = 3(2) - 7 = -1 .
  • Pontos importantes para o gráfico: (0, -7) e (2, -1) .

Exercício 2

Considere a função afim h(x) = -2x + 5 :

  1. Identifique se a função é crescente ou decrescente.
  2. Encontre o valor de h(-3) .

Respostas:

  • A função é decrescente ( a = -2 ).
  • h(-3) = -2(-3) + 5 = 6 + 5 = 11 .

Exercício 3

Qual é a função afim que passa pelos pontos (0, 2) e (3, 11) ?

Resposta:

  • Coeficiente angular: a = frac{11 - 2}{3 - 0} = 3 .
  • Função: f(x) = 3x + 2 .