Grandezas proporcionais fazem parte de situações do cotidiano, desde calcular custos de compras até estimar o tempo de viagens. Este artigo vai explicar de forma simples e visual o conceito de grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais, com exemplos práticos, gráficos e exercícios.
1. Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao aumentar uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção. Da mesma forma, ao diminuir uma, a outra também diminui proporcionalmente.
Fórmula Geral
Se xxx e yyy são grandezas diretamente proporcionais:
Onde kkk é a constante de proporcionalidade.
Exemplo 1: Consumo de combustível
Um carro consome 10 litros de combustível para percorrer 200 km. O consumo é diretamente proporcional à distância. Se quisermos saber quantos litros serão necessários para percorrer 500 km:
Gráfico de Proporcionalidade Direta
No caso das grandezas diretamente proporcionais, o gráfico é uma linha reta que passa pela origem (0,0).
Exemplo Visual:
Para o exemplo do consumo de combustível:
- Distância (xxx): 0, 100, 200, 300, 500 km
- Combustível (yyy): 0, 5, 10, 15, 25 litros
O gráfico representará esses valores.
2. Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao aumentar uma delas, a outra diminui proporcionalmente, e o produto das grandezas é sempre constante.
Fórmula Geral
Se xxx e yyy são grandezas inversamente proporcionais:
Onde kkk é a constante de proporcionalidade.
Exemplo 2: Tempo e velocidade
Um carro leva 4 horas para percorrer 240 km a uma velocidade de 60 km/h. Se aumentarmos a velocidade para 80 km/h, o tempo diminuirá:
Gráfico de Proporcionalidade Inversa
No caso das grandezas inversamente proporcionais, o gráfico é uma hipérbole.
Exemplo Visual:
Para o exemplo de velocidade e tempo:
- Velocidade (xxx): 40, 60, 80, 120 km/h
- Tempo (yyy): 6, 4, 3, 2 horas
O gráfico mostrará a relação.
3. Comparação entre os Gráficos
Diretamente Proporcionais
O gráfico é sempre uma linha reta com inclinação positiva. Quanto maior o valor de xxx, maior será o valor de yyy.
Inversamente Proporcionais
O gráfico é uma curva decrescente, onde os valores de yyy diminuem conforme xxx aumenta.
4. Exercícios para Fixação
Exercício 1: Proporção Direta
Um caminhão consome 15 litros de combustível para percorrer 180 km. Quantos litros serão necessários para percorrer 300 km?
Resposta:
Exercício 2: Proporção Inversa
Seis pedreiros levam 10 dias para construir um muro. Quantos dias levariam 15 pedreiros para construir o mesmo muro?
Resposta:
Exercício 3: Gráfico de Proporcionalidade Direta
Construa o gráfico da relação entre os valores de x={0,2,4,6}x = {0, 2, 4, 6}x={0,2,4,6} e y={0,10,20,30}y = {0, 10, 20, 30}y={0,10,20,30}, sabendo que y=5xy = 5xy=5x.
Exercício 4: Gráfico de Proporcionalidade Inversa
Um carro percorre 240 km. Sabendo que a relação é inversamente proporcional, construa o gráfico da relação entre as velocidades x={40,60,80,120}x = {40, 60, 80, 120}x={40,60,80,120} e os tempos correspondentes y=240xy = frac{240}{x}y=x240.