Princípio Multiplicativo: Explicação Simples e Exercícios Resolvidos

O Princípio Multiplicativo é uma ferramenta fundamental na matemática, especialmente na área de análise combinatória. Ele nos ajuda a calcular o número total de possibilidades em eventos sucessivos, onde cada evento depende do anterior. A ideia central é simples: se um evento pode ocorrer de $m$ maneiras diferentes e, para cada uma dessas maneiras, outro evento pode ocorrer de $n$ maneiras diferentes, então o número total de combinações possíveis será $m\times n$.

Notação Matemática

Se temos $k$ eventos independentes, onde o primeiro evento pode ocorrer de n1​ maneiras, o segundo de n2​ maneiras, e assim por diante até nk​, o número total de possibilidades é dado por:

Total de possibilidades=n1​×n2​×⋯×nk​

Agora, vamos aplicar esse princípio em 5 exercícios resolvidos passo a passo.

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Exercício 1: Combinação de Roupas

Maria tem 3 blusas, 4 saias e 2 pares de sapatos. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir?

Resolução

1. O primeiro evento é escolher uma blusa. Maria tem 3 opções.
2. O segundo evento é escolher uma saia. Para cada blusa, ela tem 4 opções de saias.
3. O terceiro evento é escolher um par de sapatos. Para cada combinação de blusa e saia, ela tem 2 opções de sapatos.

Aplicando o princípio multiplicativo:

$$\text{Total de possibilidades}=3\times 4\times 2=24$$

Resposta: Maria pode se vestir de 24 maneiras diferentes.

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Exercício 2: Senhas Numéricas

Uma senha é composta por 3 dígitos, onde cada dígito pode ser qualquer número de 0 a 9. Quantas senhas diferentes podem ser criadas?

Resolução

1. O primeiro dígito pode ser escolhido de 10 maneiras (de 0 a 9).
2. O segundo dígito também pode ser escolhido de 10 maneiras.
3. O terceiro dígito também pode ser escolhido de 10 maneiras.

Aplicando o princípio multiplicativo:

Total de senhas=10×10×10=103=1000

Resposta: Podem ser criadas 1000 senhas diferentes.

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Exercício 3: Placas de Carro

As placas de carro no Brasil são compostas por 3 letras seguidas de 4 números. Quantas placas diferentes podem ser formadas?

Resolução

1. Existem 26 letras no alfabeto (A-Z). Cada uma das 3 posições de letra pode ser preenchida de 26 maneiras.
   • Total de combinações de letras: 26×26×26=263.
2. Existem 10 dígitos (0-9). Cada uma das 4 posições de número pode ser preenchida de 10 maneiras.
   • Total de combinações de números: 10×10×10×10=104.

Aplicando o princípio multiplicativo:

Total de placas=263×104=17576×10000=175760000

Resposta: Podem ser formadas 175760000 placas diferentes.

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Exercício 4: Cardápio de Restaurante

Um restaurante oferece 4 opções de entrada, 5 opções de prato principal e 3 opções de sobremesa. De quantas maneiras diferentes um cliente pode montar seu pedido, escolhendo uma entrada, um prato principal e uma sobremesa?

Resolução

1. O cliente pode escolher uma entrada de 4 maneiras.
2. Para cada entrada, ele pode escolher um prato principal de 5 maneiras.
3. Para cada combinação de entrada e prato principal, ele pode escolher uma sobremesa de 3 maneiras.

Aplicando o princípio multiplicativo:

$$\text{Total de pedidos}=4\times 5\times 3=60$$

Resposta: O cliente pode montar seu pedido de 60 maneiras diferentes.

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Conclusão

O Princípio Multiplicativo é uma ferramenta poderosa para resolver problemas envolvendo contagem de possibilidades. Ao dividir o problema em etapas e multiplicar as opções de cada etapa, podemos calcular facilmente o número total de combinações. Use os exemplos acima como guia para praticar e dominar esse conceito!