Introdução

Um sistema de equações do primeiro grau é composto por duas ou mais equações lineares envolvendo variáveis. O objetivo é determinar os valores das variáveis que satisfaçam todas as equações simultaneamente.

Propriedades

Cada equação representa uma reta no plano cartesiano.
A solução corresponde ao ponto de interseção das retas (se existir).
Os sistemas podem ser classificados como:
- Possível determinado: uma única solução.
- Possível indeterminado: infinitas soluções.
- Impossível: nenhuma solução.

Métodos de Resolução

Substituição: Resolve uma equação em relação a uma variável e substitui na outra.
Adição: Soma ou subtrai equações para eliminar uma variável.
Gráfico: Representa as equações no plano e encontra o ponto de interseção.

Exemplos Resolvidos

Exemplo 1: Método da Substituição

Resolver o sistema:
$\begin{cases} x + y = 5 \ 2x - y = 4 \end{cases}$

Passo 1: Isolamos $y$ na primeira equação:
$y = 5 - x$ .

Passo 2: Substituímos $y$ na segunda equação:
$2x - (5 - x) = 4 \implies 2x - 5 + x = 4 \implies 3x = 9 \implies x = 3$ .

Passo 3: Substituímos $x = 3$ em $y = 5 - x$ :
$y = 5 - 3 \implies y = 2$ .

Solução: $x = 3$ e $y = 2$ .

Exemplo 2: Método da Adição

Resolver o sistema:
$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \ 2x - 2y = 4 \end{cases}$

Passo 1: Somamos as equações:
$(3x + 2y) + (2x - 2y) = 12 + 4 \implies 5x = 16 \implies x = \frac{16}{5}$ .

Passo 2: Substituímos $x = \frac{16}{5}$ na primeira equação:
$3\left(\frac{16}{5}\right) + 2y = 12 \implies \frac{48}{5} + 2y = 12 \implies 2y = \frac{60}{5} - \frac{48}{5} \implies 2y = \frac{12}{5} \implies y = \frac{6}{5}$ .

Solução: $x = \frac{16}{5}$ e $y = \frac{6}{5}$ .

Exercícios Resolvidos

Exercício 1:

Resolva o sistema:
$\begin{cases} x + 2y = 7 \ 3x - y = 8 \end{cases}$
Solução: $x = 3$ , $y = 2$ .

Exercício 2:

Resolva o sistema:
$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \ x - y = 1 \end{cases}$
Solução: $x = 3$ , $y = 2$ .

Exercício 3:

Resolva o sistema:
$\begin{cases} x - 4y = -5 \ 2x + y = 7 \end{cases}$
Solução: $x = 3$ , $y = 2$ .

Exercício 4:

Resolva o sistema:
$\begin{cases} 5x - y = 10 \ 3x + y = 14 \end{cases}$
Solução: $x = 4$ , $y = 2$ .

Exercício 5:

Resolva o sistema:
$\begin{cases} x + y = 10 \ x - y = 2 \end{cases}$
Solução: $x = 6$ , $y = 4$ .

Conclusão

Os sistemas de equações do primeiro grau são ferramentas essenciais para resolver problemas complexos de forma prática. A prática com diferentes métodos é essencial para aprofundar o aprendizado.

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Propriedades

Métodos de Resolução

Exemplos Resolvidos

Exemplo 1: Método da Substituição

Exemplo 2: Método da Adição

Exercícios Resolvidos

Exercício 1:

Exercício 2:

Exercício 3:

Exercício 4:

Exercício 5:

Conclusão

Wellington Santos

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